문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) === 고유진동수와 스펙트럼 === 라플라스 방정식과 연관되어 있는 문제로 다음의 [[고유치 문제]]가 있다. [math( \nabla^2 f = \lambda f, f|_{\partial M} = 0 )] 사실 라플라스 방정식 자체만을 푼다면 이 고유치 문제는 관련이 적을 수도 있지만, 다른 유형의 방정식들(푸아송 방정식, 열 방정식, 파동 방정식 등등)과는 매우 밀접한 관련을 맺고 있다. 이 방정식에 대해서는 다음과 같은 사실이 알려져 있다. ||컴팩트인 영역 [math(M \subset \mathbb{R}^n)]에 대해 위의 고유치 문제의 해는 항상 다음과 같이 나타낼 수 있다: 음의 무한대로 수렴하는 고유값의 수열 [math(\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots )]과 함수 [math(\varphi_i)]가 존재해 [math( (\lambda, \varphi_i))]가 모든 해가 된다.|| 예시를 들자면 1차원 폐구간 [math(M=[0,1])]에서 이 고유치 문제를 생각하면 [math((-n^2 \pi^2, \sin(n \pi x) ))]가 모든 해가 된다. 마치 양끝단이 정해진 진동하는 줄 위에서 고유진동모드와 진동수가 나오는 것처럼, 비슷한 현상이 임의의 영역에서 일어난다는 것이다. 이는 유클리드 공간 내부의 집합 뿐만이 아니라 임의의 곡면, 나아가선 리만 [[다양체]]에 위의 일반화된 라플라스-벨트라미 작용소(Laplace-Beltrami operator)에 대해서 항상 성립한다. 라플라스 방정식의 경우에는 아래의 변수분리법을 했을 때 [math( \nabla^2 f + \partial_t^2 f = 0)] 의 형태로 생각할 수 있는 경우가 많다. [math(t)]의 축이 다른 변수들과 직각을 이루고 있을 때. 이 때 변수분리법을 한다면 [math(t)]의 성분이 삼각함수 및 지수함수로 나타나고, 그에 직교하는 성분에 대해선 고유치 문제를 풀게 되는 것이다. 따라서 아래에 등장하는 [[베셀 함수]] 및 [[구면 조화 함수]] 같은 경우도, 각각 원판과 구면 위에서의 고유 진동 모드로 보는 것이 자연스럽다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기